相量分析

这篇讨论的是正弦电路下电阻，电容，电感在正弦稳态下的电流和电压的相位关系，主要思路还是激励和响应

电阻

设激励的电压为：$u=U_{m}sin(\omega t+\psi)$,对应的$\dot{U}=U\angle \psi$
根据经典的欧姆定律，流经电阻R的的电流$i_{R}$有：
$$
i_{R} = \frac{u}{R} = \frac{U_{m}}{R} sin(\omega t+\psi)
$$
$i_{R}$对应的$\dot{I} = \frac{U_{m}}{R} \angle \psi$,于是在复平面中$\dot{U}$和$\dot{I}$是同方向的相量（辐角均为$\psi$）,模的绝对值之比为定值电阻的阻值。

电感

根据电感的性质$U=L\frac{di}{dt}$：用电流源作为激励是更好的选择：$i=I_{m}sin(\omega t+\psi)$,对应的$\dot{I}=I\angle \psi$,此时的电压u:
$$
u_{L}=L\frac{di}{dt}=L\omega I_{m}cos(\omega t+\psi)=L\omega I_{m}sin(\omega t+\psi+\frac{\pi}{2})
$$
对应的$\dot{U} = L\omega I\angle{(\psi+\frac{\pi}{2})}$
于是：($\angle{\frac{\pi}{2}}=0+1*j = j$)
$$
\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{L\omega I\angle{(\psi+\frac{\pi}{2}})}{I\angle \psi}=\omega L\angle{\frac{\pi}{2}}=j\omega L
$$
可见在复平面内电感的电压相量超前电流相量$\frac{\pi}{2}$，其模的比值为$L\omega$.

电容

根据电容的性质$iC\frac{du}{dt}$：用电压源作为激励是更好的选择：$u=U_{m}sin(\omega t+\psi)$,对应的$\dot{U}=U\angle \psi$，此时的电流i:
$$
i_{C}=C\frac{du}{dt}=C\omega U_{m}cos(\omega t+\psi)=C\omega U_{m}sin(\omega t+\psi+\frac{\pi}{2})
$$
对应的$\dot{I} = C\omega U\angle{(\psi+\frac{\pi}{2})}$
于是：
$$
\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\angle \psi}{C\omega U\angle{(\psi+\frac{\pi}{2})}}=\frac{1}{\omega C}\angle{-\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{j\omega C}
$$
可见在复平面内电容的电压相量滞后电流相量$\frac{\pi}{2}$，其模的比值为$frac{1}{\omega L}$.

小结

上述计算是正弦稳态电路分析的基础，理解了才在后面的学习中更加轻松。。(个人原因没图片展示)